Математика на пяти углах.

Школа посвящена широкому кругу вопросов, связанных с алгеброй, теорией чисел, дискретной математикой, математической физикой, а также их приложений. Лекции будут интересны как студентам математических специальностей, так и молодым исследователям, использующим аппарат современной математики. Мы обсудим темы из коммутативной алгебры и теории чисел, алгебраической геометрии и топологии, сюжеты из групп и алгебры Ли, а также их представлений, некоторые вопросы математической физики и функционального анализа, теории вероятностей и случайных процессов, математической логики и computer science.

Темы школы-конференции:

коммутативная алгебра и теория чисел;
алгебраическая геометрия и топология;
группы и алгебры Ли, их представления;
математическая логика и computer science;
математическая физика и функциональный анализ;
теория вероятностей и случайные процессы.

ФИО	Тема доклада	Описание доклада
Люлинцев Андрей	Марковские ветвящиеся процессы на Z+. Подход с использованием ортогональных многочленов	Рассматривается однородный марковский процесс с непрерывным временем на фазовом пространстве Z+ = {0, 1, 2, …}, который мы интерпретируем как движение частицы. Частица может переходить только в соседние точки Z+, то есть при каждой смене положения частицы ее координата изменяется на единицу. Процесс снабжен механизмом ветвления. Источники ветвления могут находиться в каждой точке Z+. В момент ветвления новые частицы появляются в точке ветвления и дальше начинают эволюционировать независимо друг от друга (и от остальных частиц) по тем же законам, что и начальная частица. Такому ветвящемуся марковскому процессу соответствует матрица Якоби. В терминах ортогональных многочленов, отвечающих этой матрице, получены формулы для среднего числа частиц в произвольной фиксированной точке Z+ в момент времени 𝑡 > 0. Результаты применены к некоторым конкретным моделям, получено точное значение для среднего числа частиц в терминах специальных функций и найдено его асимптотическое поведение при больших временах.
Басков Игорь	Когомологии алгебр, ассоциированных с сипмлициальными комплексами	Известно, что когомологии де Рама алгебры регулярных функций гладкого алгебраического многообразия естественно изоморфны когомологиям де Рама его аналитификации. Данный результат известен как теорема сравнения Гротендика. На докладе мы обсудим аналог теоремы сравнения Гротендика для (негладкой) алгебры полиномиальных функций на симплициальном комплексе — результат, который до недавнего времени считался неверным! Также посчитаем алгебраические когомологии на примере.
Жамков Никита	Скобка Герстенхабера на когомлогиях Хохшильда и методы её вычисления	Когомологии Хохшильда представляют собой известную и богатую структуру. На них можно ввести градуированное умножение и скобку Ли. В этом докладе я планирую познакомить слушателей с результатами, которые упрощают вычисления этих структур, перенося их с бар резольвенты на более «экономную» минимальную проективную резольвенту, и показать конкретные вычисления.
Гилев Павел	Решатели SAT-задач	Решатели SAT-задач являются существенным объектом изучения дискретной математики в особенности для теории сложности. Предлагается рассмотреть общую структуру решателей и изучить различные методы верификации полученных моделей. В качестве методов верификации моделей будет рассмотрены доказательства теорем (в основном при помощи зависимых типов), проверки моделей и проверки эквивалентностей.
Цыбульский Дмитрий	Специальные случаи интерполяционной теоремы для исчисления предикатов без функциональных символов и равенства	Доклад посвящён специальным случаям интерполяционной теоремы для исчисления предикатов без функциональных символов и равенства. Накладывая ограничения на интерполируемые формулы, можно доказать существование интерполянта особого вида: универсального, экзистенциального, хорновского и универсального хорновского. Наиболее интересен случай универсального хорновского интерполянта: аксиомы многих алгебраических систем задаются универсальными хорновскими формулами. Результаты, представленные в докладе, могут быть полезны как с точки зрения теории доказательств, так и в приложениях, например, при решении задач искусственного интеллекта и разработке языков логического программирования.
Белоусов Юрий	Геометрические разложение меандров	Меандр — это незамкнутая кривая на плоскости, пересекающая данную прямую трансверсально в конечном числе точек. Задача подсчета числа неэквивалентных меандров – сложная открытая проблема. Более того, асимптотика этих чисел также неизвестна. Недавно было обнаружено, что каждый меандр допускает каноническое разложение на простые компоненты. Исследование этих простых компонент позволило обнаружить связи с другими известными комбинаторными задачами. В докладе мы обсудим это разложение, а также обсудим, как оно может быть использовано для задачи перечисления меандров.
Цветков Константин	Композиционные алгебры	Композиционной алгеброй с единицей называется алгебра, на которой можно задать структуру евклидова пространства так, что длина произведения двух элементов равняется произведению их длин. Оказывается, что композиционные алгебры существуют только в размерностях 1, 2, 4 и 8. Соответствующие алгебры — это вещественные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы. Мы обсудим этот результат, а также приложение этих алгебр.
Meiling Zhan	Generation in Linear groups	Linear groups are fundamental in many areas of mathematics. The study of generations by unipotent and semisimple elements in theory of linear groups is central. We now have a well understanding of the problems of generation by unipotent elements. However, analogous issues concerning semisimple elements are more challenging and have been considered by only a few works. Generation by 1-tori in GL(n) (consists of elements with one non-trivial eigenvalue) was researched by professor N.A. Vavilov. He described the orbits under the action by simultaneous conjugation on pairs of 1-tori in GL(n,K) over a field K, and identified the subgroups generated by these pairs. Generation by 2-tori in GL(n) was researched by professor N.A.Vavilov and my tutor, professor V.V. Nesterov. They proved a reduction theorem for m-tori over a skew-field and describe the highest degree orbits. In particular, there exists a such unique orbit of GL(6,K) on pairs of 2-tori which are not embedded in GL(5,K). Last year, they completely described orbits and spans of the pairs of 2-tori, which are embedded in GL(5,K), but not in GL(4,K). At last, my tutor and I considered the most difficult case of the pairs of 2-tori in GL(4,K). We have described all orbits of pairs of 2-tori in GL(4,K), and now we intend to identify their spans.
Пименов Константин	Комбинаторные виды и теория представлений симметрической группы	Неформально говоря, комбинаторный вид — это тип структуры на конечных множествах. Графы, деревья, упорядочения, разбиения на несколько частей — это все приемры комбинаторных видов. В 1980 году A. Joyal предложил простую формализацию понятия комбинаторного вида, Благодаря чему многие принципы перечислительной комбинаторики оказалось возможным сформулировать в виде теорем. С каждым комбинаторным видом связаны некоторые производящие функции, сложение и умножение которых, как оказывается, отвечает сложению и умножению комбинаторных видов.
Семенов Андрей	Структуры коммутативных моноидов на аффинном пространстве над произвольным полем характеристики нуль	В докладе мы обсудим структуры коммутативных моноидов на аффинном пространстве над произвольным полем характеристики нуль. Аффинный алгебраический моноид- это неприводимое аффинное многообразие M, вместе с ассоциативной операцией M×M -> M (являющейся морфизмом алгебраических многообразий), а также обладающей единицей е. Моноид называется коммутативным, если …… Мы получаем полную классификацию таких структур на A2 и А3, и описываем некоторые обобщения для произвольных An.